线性方程组

线性方程 是 直线 的 方程。

方程组 是一组有 两个或以上有关联的方程。

举个例：

例子：你和马赛跑

赛跑！

你一分钟可以跑 0.2 km

马一分钟可以跑 0.5 km。但给马加鞍要花 6 分钟。

在马赶上你之前你可以跑多远？

我们可以制定 两个方程（d=距离（千米），t=时间（分钟））：

你：

d = 0.2t

马：

d = 0.5(t−6)

我们有一个方程组，方程是线性方程：

好像 10 分钟后马赶上你了……你只跑了 2 千米。

下次跑快点。

你现在知道线性方程组是什么了。

我们再来多了解一点……

求解

线性方程的形式不一定是这样的：y = 3x+2，

它也可能是这样的： y − 3x = 2

或者这样：−3x + y = 2

以上全是同一个线性方程

也可以有很多方法去解线性方程！

再举个例：

例子：解这两个方程：

x + y = 6

−3x + y = 2

这是这两个方程的图：

我们的目标是找到这两条线在哪里相交。

对，用眼可以看得到，但这里我们用代数来解！

我们怎样解？有很多方法！在这个例子里，两个方程都有 "y" 这项，所以我们可以试试用第一个方程减第二个方程：

x + y − (−3x + y) = 6 − 2

简化成：

x + y + 3x − y = 6 − 2

4x = 4

x = 1

x=1 是在两条线上。

用其中一个方程来求在 x=1 时 y 的值(在这一点 y 的值是一样的）。这里我们用第一个方程（你可以自己用第二个方程来试试）：

x + y = 6

1 + y = 6

y = 5

解是：

x = 1 和 y = 5

在图上看到的也是这样！

线性方程

线性方程 可以使 2 维的……

（例如 x 和 y）

……或 3 维

（例如 x、y 和 z）……

……或 4 维……甚至更高！

（但不能画出来）

线性方程只能有简单的变量。不能有 x2、y3、√x 等等：

线形与非线性

公共变量

若要方程组里的方程 "互相有关联"，方程便要有公共变量：

方程组有两个或以上的方程和一个或以上的变量

很多变量

方程组可以有很多方程和很多变量。

例子：3 个方程，3 个变量

2x

+

y

−

2z

=

3

x

−

y

−

z

=

0

x

+

y

+

3z

=

12

可以有任何组合：

2 个方程，3 个变量，

6 个方程，4 个变量，

9,000 个方程，567 个变量，

等等

解

若方程的个数等于变量的个数，则方程组很可能有解，不一定有，但很可能。

只有三个可能：

无（零）解

一个解

无穷多个解

若无解，方程便是"不相容"方程。

若有一个或无穷多个解，方程便是"相容"方程

这是2 个方程，2 个变量的图：

独立

"独立" 的意思是每个方程都含有新信息。

否则方程便是"相关"的。

也叫"线性独立" 和 "线性相关"

例子：

x + y = 3

2x + 2y = 6

这些方程是 "相关"的，因为它们其实是同一个方程，第二个是第一个乘以 2。

所以第二个方程没有新信息。

方程在哪里为真

我们需要解的是在什么地方全部的方程都同时为真。

为真是什么意思？

例子：你与马

在"你"的方程的线上的每一点，方程都为真（但在任何其他地方都不为真）。

在那条线上的任何一点，d 都是等于 0.2t

在 t=5 和 d=1，方程是 对 的 （d = 0.2t 吗？是，1 = 0.2×5 是对的）

在 t=5 和 d=3，方程是 不对 的 （d = 0.2t 吗？不，3 = 0.2×5 是不对的）

同样，在"马"的方程的线上的每一点，方程都为真（但在任何其他地方都不为真）。

但是，只有在两条线的交叉点（t=10，d=2），两个方程都为真。

两个方程需要同时为真……

。。。。。线性方程组的另一个名字是 "联立线性方程"

用代数来解

我们可以不用图，而用代数来解：

例子：你与马

我们用代数来解它。

方程组是：

d = 0.2t

d = 0.5(t-6)

在这例子，把方程放在一起比较简单：

d = 0.2t = 0.5(t-6)

展开 0.5(t-6)：

0.2t = 0.5t - 3

每边减 0.5t：

-0.3t = -3

每边除以 -0.3：

t = -3/-0.3 = 10分钟

知道你在什么时候被马赶上了！

知道 t，我们便可以求 d：

d = 0.2t = 0.2×10 = 2 km

答案是：

t = 10分钟 ， d = 2 km

代数与图

为什么要用代数，用图不是更容易吗？因为：

一个简单的图不能用来解多于 2 个变量的方程组。

有两个常用的代数方法来解方程组：

代入法

消元法

我们会用2个变量和3个变量为例来解释每一个方法……

代入法

步骤是：

把一个方程写成 "变量 = ……" 的形式

在其他的方程中替代（代入）那个变量。

解其他的方程

（如有需要，重复以上步骤）

2 个方程，2 个变量 的例子：

例子：

3x + 2y = 19

x + y = 8

我们可以从 任何方程 和 任何变量开始。

这里我们用第二个方程和变量 "y"（第二个方程比较简单）。

把第二个方程写成 "变量 = ……" 的形式：

把 x 从 x + y = 8 的每边减去，得到 y = 8 - x。方程变为：

3x + 2y = 19

y = 8 - x

把 "8 - x" 代入第一个方程的 "y" 里：

3x + 2(8 - x) = 19

y = 8 - x

用一般的代数解法来解：

展开 2(8-x)：

3x + 16 - 2x = 19

y = 8 - x

减 3x-2x = x：

x + 16 = 19

y = 8 - x

最后 19-16=3

x = 3

y = 8 - x

知道 x了，把它代入 y = 8 - x：

x = 3

y = 8 - 3 = 5

答案是：

x = 3 和 y = 5

注意：因为有一个解，方程是 "相容"的

检验：你自己来计算，看看代入 x = 3 和 y = 5 后，两个方程是不是对的？

代入法：3 个方程，3 个变量

好了，现在来一个长一点的例子：3 个方程，3 个变量。

这其实不难，不过要多花点时间！

例子：

x + z = 6

z - 3y = 7

2x + y + 3z = 15

我们先把变量排列好，这样比较不容易犯错：

x

+

z

=

6

-

3y

+

z

=

7

2x

+

y

+

3z

=

15

我们可以从 任何方程 和 任何变量开始。这里我们用第一个方程和变量 "x"。

把第一个方程写成 "变量 = ……"的形式：

x

=

6 - z

-

3y

+

z

=

7

2x

+

y

+

3z

=

15

把 "6 - z" 代入第三个方程的 "x" 里：

（只有第三个方程有变量 x ）

x

=

6 - z

-

3y

+

z

=

7

2(6-z)

+

y

+

3z

=

15

用一般的代数解法来解：

2(6-z) + y + 3z = 15 简化成 y + z = 3：

x

=

6 - z

-

3y

+

z

=

7

y

+

z

=

3

有进步，但还没做完。

重复以上的步骤，但用最后的两个方程。

把一个方程写成 "变量 = ……" 的形式：

我们用最后的方程和变量 z：

x

=

6 - z

-

3y

+

z

=

7

z

=

3 - y

把 "3 - y" 代入另一个方程的 "z" 里：

x

=

6 - z

-

3y

+

3 - y

=

7

z

=

3 - y

用一般的代数解法来解：

-3y + (3-y) = 7 简化成 -4y = 4，就是 y = -1

x

=

6 - z

y

=

-1

z

=

3 - y

差不多了！

知道 y = -1，我们可以算出 z = 3-y = 4：

x

=

6 - z

y

=

-1

z

=

4

知道 z = 4 ，我们算出 x = 6-z = 2：:

x

=

2

y

=

-1

z

=

4

答案是：

x = 2、y = -1 和 z = 4

检验：留给你做！

这个方法也可以用来解 4个或更多的方程和变量……你只需重复以上步骤，直至得到答案为止。

结论：代入法好用，但需要很多时间。

消元法

消元法可以快很多……但一定要整齐地做。

"消" 的意思是移除：消元法就是把变量逐个移除，直至只剩下一个。

首先你需要要知道，我们可以安全地做以下的运算：

把方程乘以常数（除了零以外），

把两个方程相加（或相减）

如下：

为什么可以把方程相加？

看看以下两个简单的方程：

x − 5 = 3

5 = 5

我们可以把 "5 = 5" 加上 "x − 5 = 3"：

x − 5 + 5 = 3 + 5

x = 8

你自己来试试，以 5 = 3+2 为第二个方程

这是允许的，因为方程两边是相等的（中间有个 = 号！）

我们也可以把方程调换位置（例如，第一个变成第二个）。

好，我们来看一个完整的例子。沿用上面的 2 个方程，2 个变量 的例子：

例子：

3x + 2y = 19

x + y = 8

非常重要：一定要整齐：

3x

+

2y

=

19

x

+

y

=

8

我们的目标是从一个方程里 消除（移除） 一个变量（一个"元"）。

有一个 "2y" 和一个 "y"。好，从这里下手。

把第二个方程乘以 2：

3x

+

2y

=

19

2x

+

2y

=

16

用第一个方程减去第二个方程：

x

=

3

2x

+

2y

=

16

知道 x 了！

第二个方程有 "2x"，把它除以 2，再减 "x"：

把第二个方程乘以 ½（除以 2）：

x

=

3

x

+

y

=

8

把第二个方程减掉第一个方程去：

x

=

3

y

=

5

大功告成！

答案是：

x = 3 和 y = 5

图是这样的：

蓝线是 3x + 2y = 19 为真的地方

红线是 x + y = 8 为真的地方

在 x=3，y=5 （两条线的交叉点），两个方程都为真。那就是答案。

再举个例：

例子：

2x - y = 4

6x - 3y = 3

整齐地排好：

2x

-

y

=

4

6x

-

3y

=

3

把第一个方程乘以 3：

6x

-

3y

=

12

6x

-

3y

=

3

第一个方程减去第二个方程：

0

-

0

=

9

6x

-

3y

=

3

0 - 0 = 9 ？？？

干啥？

很简单，无解.

两个方程的图是平行线：

最后：

例子：

2x - y = 4

6x - 3y = 12

整齐地：

2x

-

y

=

4

6x

-

3y

=

12

把第一个方程乘以 3：

6x

-

3y

=

12

6x

-

3y

=

12

第一个方程减去第二个方程：

0

-

0

=

0

6x

-

3y

=

3

0 - 0 = 0

没错，零等于零！

……这是因为它们其实是同一个方程…….

……所以有无穷多的解

是同一条线：

以上我们看到三个可能情况的例子：

无（零）解

一个解

无穷多个解

消元法：3 个方程，3 个变量

我们先来看看一个比较好的方法来做消元法。

用这个方法比较不容易出错。

首先，顺序消除变量：

先消除 x（从第二个和第三个方程，顺序）

然后从第三个方程中消除 y

以下是消除的过程：

看上去像个 "三角形"：

现在，从底部开始向上做（叫 "回代或倒转代换"）

9代入 z 来求 y，然后代入 z 和 y 来求 x）：

解了：

最后，有些计算可以用心算或其他的快速方法来做：

例子：

x + y + z = 6

2y + 5z = -4

2x + 5y - z = 27

整齐地排好：

x

+

y

+

z

=

6

2y

+

5z

=

-4

2x

+

5y

-

z

=

27

首先从第二个和第三个方程中消除 x。

第二个方程没有 x……跳去第三个：

把第一个方程的两倍从第三个方程中减去（心算或在草稿纸上做就可以了）：

结果是：

x

+

y

+

z

=

6

2y

+

5z

=

-4

3y

-

3z

=

15

接下来，从第三个方程消除 y。

我们可以 把 （1½ 乘以第二个方程）从第三个方程减去（因为 1½ 乘 2 是 3）……

。。。。但我们可以不用分数，如果我们：

把第三个方程乘以 2，

把第二个方程乘以 3

然后这样减：

我们得到：

x

+

y

+

z

=

6

2y

+

5z

=

-4

z

=

-2

看上去像个 "三角形"！

现在来做 "回代"：

我们已经知道 z，所以 2y+5z=-4 变成 2y-10=-4，2y=6，y=3：

x

+

y

+

z

=

6

y

=

3

z

=

-2

x+y+z=6 变成 x+3-2=6，所以 x=6-3+2=5

x

=

5

y

=

3

z

=

-2

答案是：

x = 5、y = 3 和 z = -2

检验；自己来！

忠告

当你熟悉消元法后，你会觉得它比代入法容易，因为你只需要一步一步做，便可以得到答案。

但有时用代入法可以快速得到答案。

若只有几个方程，代入法往往会比较容易（例如，2 个方程，有时 3 个方程）

若有很多方程，消元法就比较容易

当然，先留心看一遍方程，看看有没有捷径。。。。。这就要依赖你的经验了……熟能生巧！

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